如果$ax^2+2bx+c$有一个二重根，也即它有$a(x-\alpha)^2$的形式，那么$2ax+2b$必定可以被$x-\alpha$整除，所以有$\alpha=\frac{-b}{a}$.而且有$a\alpha^2+2b\alpha+c=0$,因此$b^2=ac$.

 

应用(纯数学教程 Page 203 例XLI (7)):

 

方程

\begin{equation}

\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0

\end{equation}当且仅当$a=b=c$时有一对相等的根.

证明:即

\begin{equation}

(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0

\end{equation}$x\neq a,b,c$.

即

\begin{equation}\label{eq:9.26}

3x^2+(-2a-2b-2c)x+(ab+bc+ca)=0

\end{equation}

有一对相等的根的意思就是\ref{eq:9.26}有重根 ，当且仅当

\begin{equation}

(-a-b-c)^2=3(ab+bc+ca)

\end{equation}

当且仅当

\begin{equation}

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

\end{equation}

当且仅当

\begin{equation}

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

\end{equation}

当且仅当$a=b=c$.